[기하벡터 #9(1)] 평면도형의 접선/레벨 3-1

[기하벡터 #9(1)] 평면도형 접선/레벨-3

[레벨3-1]-------------------------------------------------------------------------

[1차시도] ---------------------------------------------

먼저 문제를 이해하려고 곡선의 그래프를 그려봤다. 그리고 한 점에서 접선방정식을 구하긴 했는데, 어라? 한 점의 좌표값 P(x1, y1)을 모르니 절편 Q와 R을 구할 수가 없는 것이다.
더구나 점 P가 고정된 것이 아니다.

[2차시도] ---------------------------------------------

선분 RQ의 길이를 구하는 문제인인데 P 가 움직임에 따라 달라진다. 점 P의 좌표의 방정식을 세워서 풀어야 하는 문제다.

"점P를 지나는 직선의 방정식을 세워야 한다."

곡선의 방정식을 알고 있으므로 P의 x와 y 좌표를 x 만으로 표현해 놓자. 문제를 해결하려면 변수를 줄여가야 한다.

이제 접선 기울기를 x1 만의 함수로 구했다. 접선의 방정식을 x1만을 이용해 구한 후 x와 y 절편을 구한다. 이것이 Q와 R의 좌표다.

이제 빗변의 길이가 바로 선분 QR의 길이다. 피타고라스 정리. 선분의 길이가 x1 만의 함수로 세워 졌다. 이 방정식의 최소값을 구하면 문제는 해결된다. "최소값" 하면 미분하여 극값을 구하면 되는거 아닌가!

어라? 미분한 방정식이 요상한게 인수분해가 안될 것 같다. x의 -3차 식이라니...

 [3차시도] ---------------------------------------------

이쯤되면 짜증이 확 몰려올거다. 꾹 참고 문제부터 다시 보자. 앞서 뭘 잘 못한 것인지 반성도 하고.

선분 RQ의 길이의 최소값을 구하라는 것이다.
- 점 P(x1, y1)이 움직인다. -> "선분이 길이가 변한다"

직선의 방정식에 포함된 x1이 고정되어 있지 않다. 어쨌든 Q 와 R의 좌표를 x1 만을 써서 구할 수 있었던 것은 접선의 방정식을 잘 세웠기 때문이다.

딱 봐도 심상치 않다. "최소값" 을 구한다고 미분 해봐야 인수분해 될 것 같지 않다.

다행히 두 항에 모두 x1 제곱을 포함하고 있는데 서로 곱하면 상수가 될 것이다. "기하평균"과 "산술평균"의 관계를 이용하자.

1/(x1^2)과 (x1^2) 이 있다니 참으로 다행이다. 우연일까?

아니다. 인간이 만든 문제든 조물주가 만든 문제든, 문제를 만들어 낼 때에는 다 해결책을 마련해 놓고 있다.  복잡해 보이는 자연 현상도 다 해를 가지고 있다고 믿는다. 다만 아직 못찾았을 뿐이다. 과학사를 찾아보면 천재도 있고 노력파도 있고, 우연히 찾아내는 행운아도 있더라. 물론 천재나 행운아를 시기하다 망치는 바보도 있고. 나는 행운아 였으면 좋겠다.

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[부록]