분할의 개념
2017년 7월 27일 목요일
[영어독해 #11] 빈칸,연결사 추론
[영어독해 #11] 빈칸,연결사 추론
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[영어 #11] 문맥속 문법
[영어 #11] 문맥속 문법
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[미적분II #11(2)]지수,로그 함수 미분/기출 2015
[미적분II #11(2)]지수,로그 함수 미분/기출 2015
수능 사상 상당히 고난도 문제 였다고 한다. 풀어보자.
[수능2015]--------------------------------------------------------------------------
[힌트] 문제를 잘 읽어보자.
f(x)는 이미 미분 가능한 함수인데, 새로 만든 g(x)도 "미분가능" 하게 만들고 싶단다.
즉, g(x)의 어디에서 미분 가능하지 않다는 것일까? 그나저나 절대값 표시가 보이면 신경 쓰인다.
f(x) 그래프를 그려보자. f(x)의 절대값 함수는 x=-1의 좌우에 불연속점이 나오는게 분명하다.
이제 g(x)에서 절대값을 풀어줘야 한다. g(x)에 함수 f()의 정의역에 x의 k 제곱근이 적용되고 있다는 점에 주목하며, f(x)의 그래프를 잘 보자.
x=-1을 기준으로,
1. 우측은,
* f(x) 값은 "양수", 그리고 x의 k 제곱근 값은 항상 -1보다 크다.
* 따라서 f() 도 항상 양수다. (-0.5)^2 = (-0.25) > -1 .....
|f(x)| = f(x)
2. 좌측은, f(x) 가 0보다 작으므로 -1을 곱해서 양수로 만들어 줘야 한다.
|f(x)| = -f(x)
하지만, x의 k 제곱근은 사정이 다르다.
2-1. k 가 짝수일 때,
* x의 k 제곱은 항상 양수, f()도 항상 양수. 따라서,
|f(x^k)| = f(x^k)
위의 조건을 그럴듯 하게 수학적으로 표현하면,
함수 g(x)가 x=-1을 기준으로 좌우측 부호가 바꾸는 점을 고려하여 식을 세워보자. 함수 g(x)는 x의 구간에 따라 두개의 식을 얻는다.
이쯤하면 문제가 뭐였는지 잊어버렸을지도 모른다. 문제를 상기하자. "미분가능"하게 만들기 위해 이렇게 따지고 있었다. 함수가 연속 하려면 좌우의 극한 값(x=-1에서 미분계수)이 같아야 한다. 도함수 정의를 적용하여 f'(-1)로 계산 가능하게 만들어야 한다.
1. 우측 극한,
2. 좌측 극한,
써놓고 보면 무척이나 고도의 수학문제를 푸는 듯이 보인다. 한편 멋있다던가 두렵다던가. 자세히 보면 대단한 수학적 사고를 필요로하는 것 같지는 않다. 논리적 판단, 수리적 기교와 다소 난해할 수도 있는 수학적 정의가 동원되었다. 그리고 가장 중요한, 중간 전개 과정에 뭔가 빼먹는 것이 없어야 한다.
아직 안끝났다...
수능 사상 상당히 고난도 문제 였다고 한다. 풀어보자.
[수능2015]--------------------------------------------------------------------------
[힌트] 문제를 잘 읽어보자.
f(x)는 이미 미분 가능한 함수인데, 새로 만든 g(x)도 "미분가능" 하게 만들고 싶단다.
즉, g(x)의 어디에서 미분 가능하지 않다는 것일까? 그나저나 절대값 표시가 보이면 신경 쓰인다.
f(x) 그래프를 그려보자. f(x)의 절대값 함수는 x=-1의 좌우에 불연속점이 나오는게 분명하다.
이제 g(x)에서 절대값을 풀어줘야 한다. g(x)에 함수 f()의 정의역에 x의 k 제곱근이 적용되고 있다는 점에 주목하며, f(x)의 그래프를 잘 보자.
x=-1을 기준으로,
1. 우측은,
* f(x) 값은 "양수", 그리고 x의 k 제곱근 값은 항상 -1보다 크다.
* 따라서 f() 도 항상 양수다. (-0.5)^2 = (-0.25) > -1 .....
|f(x)| = f(x)
2. 좌측은, f(x) 가 0보다 작으므로 -1을 곱해서 양수로 만들어 줘야 한다.
|f(x)| = -f(x)
하지만, x의 k 제곱근은 사정이 다르다.
2-1. k 가 짝수일 때,
* x의 k 제곱은 항상 양수, f()도 항상 양수. 따라서,
|f(x^k)| = f(x^k)
2-2. k 가 홀수일 때,
* x의 k 제곱은 항상 음수, f()도 항상 음수. 따라서,
|f(x^k)| = -f(x^k)
* x의 k 제곱은 항상 음수, f()도 항상 음수. 따라서,
|f(x^k)| = -f(x^k)
위의 조건을 그럴듯 하게 수학적으로 표현하면,
함수 g(x)가 x=-1을 기준으로 좌우측 부호가 바꾸는 점을 고려하여 식을 세워보자. 함수 g(x)는 x의 구간에 따라 두개의 식을 얻는다.
이쯤하면 문제가 뭐였는지 잊어버렸을지도 모른다. 문제를 상기하자. "미분가능"하게 만들기 위해 이렇게 따지고 있었다. 함수가 연속 하려면 좌우의 극한 값(x=-1에서 미분계수)이 같아야 한다. 도함수 정의를 적용하여 f'(-1)로 계산 가능하게 만들어야 한다.
1. 우측 극한,
2. 좌측 극한,
써놓고 보면 무척이나 고도의 수학문제를 푸는 듯이 보인다. 한편 멋있다던가 두렵다던가. 자세히 보면 대단한 수학적 사고를 필요로하는 것 같지는 않다. 논리적 판단, 수리적 기교와 다소 난해할 수도 있는 수학적 정의가 동원되었다. 그리고 가장 중요한, 중간 전개 과정에 뭔가 빼먹는 것이 없어야 한다.
아직 안끝났다...
[미적분II #11(1)]지수,로그 함수 미분/레벨-2
[미적분II #11(1)]지수,로그 함수 미분/레벨-2
[레벨2-1]-------------------------------------------------------------
[힌트]
* 문제에서 주어진 x>-1 은 로그함수의 조건이다.
* 극한 값이 0 으로 갈 때 미분계수를 구하려는 것이다.
함수가 구체적 수식으로 주어지 않았다. -> 그래프로 해석해 보자
함수의 범위가 제한되어 있다면 역함수도 같은 범위에 있어야 문제를 풀 수 있다.
[레벨2-2]--------------------------------------------------------------
[풀이] 극한 값이 0 으로 간다. 미분계수 문제!
[레벨2-3]---------------------------------------------------------------
[힌트] 함수가 두개의 수식으로 주어졌다. 한 점에서 불연속 일 수 있다.
이 함수를 연속하게 만들려면 이 불연속 점을 없애는 방법으로 좌우 극한값을 맞추는 것.
[풀이1] 지수 로그 함수의 극한값 공식을 외웠다면,
[풀이2] 도함수, 미분계수의 정의를 이용하는 방법도 있다. 함수가 계산 편하라고 지수로그 극한값으로 나타내어지진 않을 것이다.
문제를 잘 뜯어보면 도함수(미분계수)의 정의에 맞춰낼 수 있다. 이것을 알아채는 것도 수학적 직관이자 기본기.
이제 문제는 x=0 일때 미분계수를 구하는 것으로 확인 되었다.
[레벨2-4]-----------------------------------------------------------------
[힌트] 문제를 보자. 뭔가 도함수의 정의랑 비숫하지 않은가?
[풀이] 맞다. 도함수! 결국 문제는 x=1에서 함수 f(x)의 미분 계수 f'(1) 를 구하라는 것이다.
[레벨2-1]-------------------------------------------------------------
[힌트]
* 문제에서 주어진 x>-1 은 로그함수의 조건이다.
* 극한 값이 0 으로 갈 때 미분계수를 구하려는 것이다.
함수가 구체적 수식으로 주어지 않았다. -> 그래프로 해석해 보자
함수의 범위가 제한되어 있다면 역함수도 같은 범위에 있어야 문제를 풀 수 있다.
[레벨2-2]--------------------------------------------------------------
[풀이] 극한 값이 0 으로 간다. 미분계수 문제!
[레벨2-3]---------------------------------------------------------------
[힌트] 함수가 두개의 수식으로 주어졌다. 한 점에서 불연속 일 수 있다.
이 함수를 연속하게 만들려면 이 불연속 점을 없애는 방법으로 좌우 극한값을 맞추는 것.
[풀이1] 지수 로그 함수의 극한값 공식을 외웠다면,
[풀이2] 도함수, 미분계수의 정의를 이용하는 방법도 있다. 함수가 계산 편하라고 지수로그 극한값으로 나타내어지진 않을 것이다.
문제를 잘 뜯어보면 도함수(미분계수)의 정의에 맞춰낼 수 있다. 이것을 알아채는 것도 수학적 직관이자 기본기.
이제 문제는 x=0 일때 미분계수를 구하는 것으로 확인 되었다.
[레벨2-4]-----------------------------------------------------------------
[힌트] 문제를 보자. 뭔가 도함수의 정의랑 비숫하지 않은가?
[풀이] 맞다. 도함수! 결국 문제는 x=1에서 함수 f(x)의 미분 계수 f'(1) 를 구하라는 것이다.
[기하벡터 #11] 벡터 연산
[기하벡터 #11] 벡터 연산
벡터의 의미...
벡터의 크기 계산
[유제]-----------------------------------------------------------------
직각 삼각형 빗변의 길이는 누구나 다아는 피타고라스 정리. 하지만 제곱근 값이 엄청(?)나다. 물굴의 의지로 계산할 수도 있겠지만,
[풀이1] 닮은 꼴 삼각형의 비율
[풀이2] 해석기하: 꼭지점의 좌표설성 후 두점사이의 거리
[풀이3] 삼각형 중선에 관한 정리 (직각 삼각형이 아니더라도 빗변과 중선의 관계)
[유제2]---------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------
[벡터의 연산]
----------------------------------------------------------------------
[주의] 벡터의 방향을 특정하기 어렵다.
-> 그래서 도형으로 풀기도 하는데, 그림은 편의를 위한 것일 수 있다.
[예제2]---------------------------------------------------------------
벡터의 연산으로 풀어 놓고 크기를 계산
벡터의 의미...
벡터의 크기 계산
[유제]-----------------------------------------------------------------
직각 삼각형 빗변의 길이는 누구나 다아는 피타고라스 정리. 하지만 제곱근 값이 엄청(?)나다. 물굴의 의지로 계산할 수도 있겠지만,
[풀이1] 닮은 꼴 삼각형의 비율
[풀이2] 해석기하: 꼭지점의 좌표설성 후 두점사이의 거리
[풀이3] 삼각형 중선에 관한 정리 (직각 삼각형이 아니더라도 빗변과 중선의 관계)
[유제2]---------------------------------------------------------------
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[벡터의 연산]
----------------------------------------------------------------------
[주의] 벡터의 방향을 특정하기 어렵다.
-> 그래서 도형으로 풀기도 하는데, 그림은 편의를 위한 것일 수 있다.
[예제2]---------------------------------------------------------------
벡터의 연산으로 풀어 놓고 크기를 계산
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