[미적분II #11(2)]지수,로그 함수 미분/기출 2015

[미적분II #11(2)]지수,로그 함수 미분/기출 2015

수능 사상 상당히 고난도 문제 였다고 한다. 풀어보자.

[수능2015]--------------------------------------------------------------------------

[힌트] 문제를 잘 읽어보자.

f(x)는 이미 미분 가능한 함수인데, 새로 만든 g(x)도 "미분가능" 하게 만들고 싶단다.
즉, g(x)의 어디에서 미분 가능하지 않다는 것일까? 그나저나 절대값 표시가 보이면 신경 쓰인다.

f(x) 그래프를 그려보자. f(x)의 절대값 함수는 x=-1의 좌우에 불연속점이 나오는게 분명하다.

이제 g(x)에서 절대값을 풀어줘야 한다. g(x)에 함수 f()의 정의역에 x의 k 제곱근이 적용되고 있다는 점에 주목하며, f(x)의 그래프를 잘 보자.

x=-1을 기준으로,

1. 우측은,
* f(x) 값은 "양수", 그리고 x의 k 제곱근 값은 항상 -1보다 크다.
* 따라서 f() 도 항상 양수다. (-0.5)^2 = (-0.25) > -1 .....

|f(x)| = f(x)

2. 좌측은, f(x) 가 0보다 작으므로 -1을 곱해서 양수로 만들어 줘야 한다.

 |f(x)| = -f(x)

하지만, x의 k 제곱근은 사정이 다르다.

2-1. k 가 짝수일 때,
* x의 k 제곱은 항상 양수, f()도 항상 양수. 따라서,

|f(x^k)| = f(x^k)

2-2. k 가 홀수일 때,
* x의 k 제곱은 항상 음수, f()도 항상 음수. 따라서,

|f(x^k)| = -f(x^k)

위의 조건을 그럴듯 하게 수학적으로 표현하면,

함수 g(x)가 x=-1을 기준으로 좌우측 부호가 바꾸는 점을 고려하여 식을 세워보자. 함수 g(x)는 x의 구간에 따라 두개의 식을 얻는다.

이쯤하면 문제가 뭐였는지 잊어버렸을지도 모른다. 문제를 상기하자. "미분가능"하게 만들기 위해 이렇게 따지고 있었다. 함수가 연속 하려면 좌우의 극한 값(x=-1에서 미분계수)이 같아야 한다. 도함수 정의를 적용하여 f'(-1)로 계산 가능하게 만들어야 한다.

1. 우측 극한,

2. 좌측 극한,

써놓고 보면 무척이나 고도의 수학문제를 푸는 듯이 보인다. 한편 멋있다던가 두렵다던가. 자세히 보면 대단한 수학적 사고를 필요로하는 것 같지는 않다. 논리적 판단, 수리적 기교와 다소 난해할 수도 있는 수학적 정의가 동원되었다. 그리고 가장 중요한, 중간 전개 과정에 뭔가 빼먹는 것이 없어야 한다.

아직 안끝났다...