[기하벡터 #5(4)] 이차도형/기출 문제3

[기하벡터 #5(4)] 이차도형/기출 문제3

그림을 보면서 단순한 시도. 타원 방정식이 있으니 초점은 쉽게 구했다. 이제 점사이의 길이를 이용해 식을 만들어보려는데...

최소가 1이되는 a 를 구하려는데 이 무슨 x, y 씨나락 까먹는 꼴이 되었나. 이러면 곤란하다.

"최소"가되는 점을 "기하학" 적으로 풀어보자.

문제에서 타원의 방정식이 주어졌다. 장축 a = 5, 단축 b = 4.

m + n = 2a = 10

결국  (l+m)이 최소일 때 (l-n)도 최소이며 그 값은 1이다. "기하학"적으로 보자. 점 A, P, F' 가 일직선으로 놓일 때 (l+m)이 최소다.

이상한 각도의 두 선분의 차 (l-n)의 최소값을 구하는 것보다 두 선분의 합 (l+m) 을 따지는 편이 훨씬 수월함을 알 수 있다.

점 P 가 (1), (2), (3)의 위치에 있을 때, 타원의 정의에 따라 점 P가 어느 위치에 있든 m + n은 같다. 각각 위치에서

(i) (l-n)의 값이 가장 작은 지점은 어디인가?
(ii) (l+m)의 값이 가장 작은 위치는 어디인가?

(i)과 (ii)는 같은 질문이다. 하지만 (ii)가 훨씬 수월하다.

뭔가 새로운 생각을 접할 때 "발상의 전환"으로 혁신을 했다고 말한다. 과연 "발상의 전환"을 말하긴 쉽지만 행하긴 어렵다. 오죽하면 전문 분야에서 발상의 전환을 이뤄낸 사람을 "천재"라고 하지 않던가.

그렇다면 "발상의 전환"을 훈련할 밥법은 없을까? 수학을 공부하는 것이 발상의 전환을 익히는 좋은 방법일 것이다. 그래서 "천재"라면 먼저 "수학"을 떠올리는 모양이다.

점 A, P, F' 가 일직선으로 놓이면 (l+m)은 직각 삼각형 F'OA의 사선이 된다. 그 흔한 피타고라스 정리에 따라,그 흔한 피타고라스 정리에 따라,